سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

الف) $(f \circ g)(-1) = f(-3) = 1$

ب) $3t - 1 = -4 \Rightarrow t = -1$

پ) بازهٔ $[-2, +\infty)$

الف) ترکیب را از داخل به بیرون حساب می‌کنیم: اول $g(-1)$ و بعد $f$ را روی حاصل آن.

از روی نمودار $g$ (خط قرمز)، نقطه‌ای که طولش $-1$ است عرض $-3$ دارد؛ پس $g(-1) = -3$. از روی نمودار $f$ (آبی)، نقطه‌ای که طولش $-3$ است عرض $1$ دارد:

$$(f \circ g)(-1) = f\big(g(-1)\big) = f(-3) = 1$$

ب) اول می‌پرسیم $g$ کجا صفر می‌شود. نمودار $g$ محور $x$ها را فقط در $x = -4$ قطع می‌کند؛ پس $g(-4) = 0$ و $g$ ریشهٔ دیگری ندارد. بنابراین عبارت داخل $g$ باید $-4$ باشد:

$$3t - 1 = -4 \Rightarrow 3t = -3 \Rightarrow t = -1$$

پ) تابع $f$ یک‌به‌یک نیست، چون خط افقی $y = 1$ نمودارش را در دو نقطه قطع می‌کند: $f(-3) = f(-1) = 1$.

نمودار $f$ دو شاخه دارد که در رأس $(-2, 0)$ به هم می‌رسند: سمت چپ رأس نزولی و سمت راست آن صعودی است. اگر دامنه را به شاخهٔ راست محدود کنیم، یعنی $x \ge -2$، تابع اکیداً صعودی و در نتیجه یک‌به‌یک می‌شود:

$$[-2, +\infty)$$