سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

الف)

$$c = \frac{4}{5}a \Rightarrow 9 + \frac{16}{25}a^2 = a^2 \Rightarrow a = 5 , \ c = 4 , \qquad FF' = 8$$

طول قطر کانونی $2a = 10$ و فاصلهٔ کانونی $FF' = 8$ است.

ب) $A(1, -1)$ و $A'(-9, -1)$

در بیضی، $a$ نصف قطر بزرگ، $b$ نصف قطر کوچک و $c$ نصف فاصلهٔ دو کانون است و این سه با هم رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ دارند. خروج از مرکز $e = \frac{c}{a}$ است.

الف) طول قطر کوچک ۶ است، پس $2b = 6$ و $b = 3$. از خروج از مرکز:

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} \Rightarrow c = \frac{4}{5}a$$

این را در رابطهٔ $a^2 = b^2 + c^2$ می‌گذاریم:

$$a^2 = 9 + \frac{16}{25}a^2 \Rightarrow \frac{9}{25}a^2 = 9 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$$ $$c = \frac{4}{5} \times 5 = 4$$

قطر کانونی همان قطر بزرگ است (دو کانون روی آن قرار دارند) و طولش $2a = 10$ واحد است. فاصلهٔ کانونی، فاصلهٔ دو کانون است: $FF' = 2c = 8$ واحد.

ب) بیضی افقی است، پس قطر بزرگ روی خط افقی گذرنده از مرکز، یعنی $y = -1$، قرار دارد. دو سر قطر بزرگ به فاصلهٔ $a = 5$ در چپ و راست مرکز $(-4, -1)$ هستند:

$$A(-4 + 5, -1) = (1, -1) , \qquad A'(-4 - 5, -1) = (-9, -1)$$