دی ۱۳۹۹

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۶ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۲ — سؤال ۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

۰.۵ بارم

در جاهای خالی عبارت ریاضی مناسب قرار دهید.

الف) در بازهٔ (0,1)(0, 1)، نمودار تابع y=x3y = x^3 ........ نمودار تابع y=x2y = x^2 قرار دارد.

ب) اگر h(x)=3x4+2x2−1h(x) = 3x^4 + 2x^2 - 1 باشد، آنگاه h′′(1)h''(1) برابر ........ است.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) پایین — ب) ۴۰

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) برای هر xx در بازهٔ (0,1)(0, 1) داریم 0<x<10 < x < 1. دو طرف این نامساوی را در عدد مثبت x2x^2 ضرب می‌کنیم:

x⋅x2<1⋅x2⇒x3<x2x \cdot x^2 < 1 \cdot x^2 \Rightarrow x^3 < x^2

پس در این بازه، عرض هر نقطه از نمودار y=x3y = x^3 از عرض نقطهٔ هم‌طول آن روی y=x2y = x^2 کمتر است؛ یعنی نمودار y=x3y = x^3 پایین نمودار y=x2y = x^2 قرار دارد. برای نمونه در x=12x = \frac{1}{2}:

(12)3=18<14=(12)2\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} < \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2

ب) دو بار مشتق می‌گیریم:

h′(x)=12x3+4xh'(x) = 12x^3 + 4x h′′(x)=36x2+4h''(x) = 36x^2 + 4 h′′(1)=36+4=40h''(1) = 36 + 4 = 40
این پاسخ مفید بود؟