سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

الف)

$$\lim_{x \to 5} \frac{(2 - \sqrt{x - 1})(2 + \sqrt{x - 1})}{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})} = \lim_{x \to 5} \frac{-(x - 5)}{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})} = -\frac{1}{4}$$

ب)

$$\lim_{x \to 3^-} \frac{-1}{x - 3} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$

الف) با جای‌گذاری $x = 5$، صورت $2 - \sqrt{4} = 0$ و مخرج هم $0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ داریم. صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $2 + \sqrt{x - 1}$، ضرب می‌کنیم:

$$(2 - \sqrt{x - 1})(2 + \sqrt{x - 1}) = 4 - (x - 1) = 5 - x = -(x - 5)$$

حالا عامل صفرکنندهٔ $x - 5$ از صورت و مخرج ساده می‌شود:

$$\lim_{x \to 5} \frac{-(x - 5)}{(x - 5)(2 + \sqrt{x - 1})} = \lim_{x \to 5} \frac{-1}{2 + \sqrt{x - 1}} = \frac{-1}{2 + 2} = -\frac{1}{4}$$

ب) وقتی $x$ از سمت چپ به ۳ نزدیک می‌شود، $2 < x < 3$ است؛ پس $[x] = 2$ و صورت برابر $2 - 3 = -1$ است:

$$\lim_{x \to 3^-} \frac{[x] - 3}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{-1}{x - 3}$$

در این حالت $x - 3$ عددی منفی و بسیار نزدیک به صفر است ($0^-$). تقسیم عدد منفی $-1$ بر یک عدد منفیِ بسیار کوچک، عددی مثبت و بسیار بزرگ می‌دهد:

$$\frac{-1}{0^-} = +\infty$$

پس حد، نامتناهی و برابر $+\infty$ است.