سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

گام ۱: ساده کردن سمت چپ. دو طرف معادله را در ۲ ضرب می‌کنیم تا اتحاد $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ به کار بیاید:

$$2\sin x\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$$

گام ۲: جواب کلی. اگر $\sin u = \sin\alpha$ باشد، آنگاه $u = 2k\pi + \alpha$ یا $u = 2k\pi + \pi - \alpha$ (با $k \in \mathbb{Z}$). اینجا $u = 2x$ و $\alpha = \frac{\pi}{3}$ است:

$$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{6}$$ $$2x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = k\pi + \frac{\pi}{3}$$

که در هر دو، $k$ عدد صحیح است.

بررسی: برای $x = \frac{\pi}{6}$:

$$\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$