سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

$$-5 - \sqrt{3x + 1} = y \Rightarrow 3x + 1 = (y + 5)^2$$ $$\Rightarrow x = \frac{(y + 5)^2 - 1}{3} \Rightarrow g^{-1}(x) = \frac{(x + 5)^2 - 1}{3} , \qquad D_{g^{-1}} = (-\infty, -5]$$

گام ۱: برد $g$. زیر رادیکال باید نامنفی باشد، پس $x \ge -\frac{1}{3}$. چون $\sqrt{3x + 1} \ge 0$ است:

$$g(x) = -5 - \sqrt{3x + 1} \le -5$$

با بزرگ شدن $x$، رادیکال همهٔ مقدارهای نامنفی را می‌گیرد؛ پس برد $g$ بازهٔ $(-\infty, -5]$ است. $g$ اکیداً نزولی و در نتیجه یک‌به‌یک است، پس وارون دارد.

گام ۲: $x$ را برحسب $y$ پیدا می‌کنیم.

$$y = -5 - \sqrt{3x + 1} \Rightarrow \sqrt{3x + 1} = -(y + 5)$$

دو طرف را به توان ۲ می‌رسانیم:

$$3x + 1 = (y + 5)^2 \Rightarrow x = \frac{(y + 5)^2 - 1}{3}$$

گام ۳: جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم.

$$g^{-1}(x) = \frac{(x + 5)^2 - 1}{3}$$

دامنهٔ وارون همان برد $g$ است: $D_{g^{-1}} = (-\infty, -5]$. بدون این محدودیت، ضابطهٔ بالا یک سهمی کامل است که یک‌به‌یک نیست و وارون $g$ به حساب نمی‌آید.

بررسی: $g(0) = -5 - 1 = -6$ و

$$g^{-1}(-6) = \frac{(-6 + 5)^2 - 1}{3} = \frac{1 - 1}{3} = 0$$