سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۹

الف)

$$\min = -|a| + c = -8 , \qquad \max = |a| + c = 8 , \qquad T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\left|\frac{1}{3}\right|} = 6\pi$$

ب)

$$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$

الف) تابع به شکل $y = a\cos(bx) + c$ است با $a = 8$، $b = \frac{1}{3}$ و $c = 0$.

ماکزیمم و مینیمم: کسینوس هر زاویه‌ای بین $-1$ و $1$ است؛ پس:

$$-1 \le \cos\frac{x}{3} \le 1 \Rightarrow -8 \le 8\cos\frac{x}{3} \le 8$$

یعنی ماکزیمم تابع $|a| + c = 8$ (مثلاً در $x = 0$) و مینیمم آن $-|a| + c = -8$ (مثلاً در $x = 3\pi$) است.

دورهٔ تناوب: دورهٔ تناوب کسینوس $2\pi$ است؛ برای اینکه زاویهٔ $\frac{x}{3}$ به اندازهٔ $2\pi$ زیاد شود، $x$ باید $6\pi$ زیاد شود:

$$T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$$

ب) زاویهٔ $15^\circ$ نصف $30^\circ$ است. از اتحاد $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ با $\alpha = 15^\circ$:

$$\cos 30^\circ = 1 - 2\sin^2 15^\circ \Rightarrow \sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}$$

چون $15^\circ$ در ربع اول است، سینوس آن مثبت است و ریشهٔ مثبت را برمی‌داریم:

$$\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$$

این عدد تقریباً $0.26$ است.