سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

$$f'_+(x) = 2x + 1 \Rightarrow f'_+(1) = 3$$ $$f'_-(x) = 3 \Rightarrow f'_-(1) = 3$$ $$f'_+(1) = f'_-(1) = 3$$

تابع در نقطهٔ $x = 1$ مشتق‌پذیر است.

تابعی در یک نقطه مشتق‌پذیر است که در آن نقطه پیوسته باشد و مشتق راست و چپ آن در آن نقطه با هم برابر باشند.

گام ۱: پیوستگی در $x = 1$.

$$f(1) = 1^2 + 1 = 2 \quad , \quad \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) = 2$$

مقدار تابع و حد چپ برابرند (حد راست هم از همان ضابطهٔ $x^2 + x$ برابر ۲ است)؛ پس تابع در $x = 1$ پیوسته است.

گام ۲: مشتق راست. برای $x \geq 1$ ضابطه $x^2 + x$ است:

$$f'_+(x) = 2x + 1 \Rightarrow f'_+(1) = 2(1) + 1 = 3$$

گام ۳: مشتق چپ. برای $x < 1$ ضابطه $3x - 1$ است:

$$f'_-(x) = 3 \Rightarrow f'_-(1) = 3$$

نتیجه: مشتق راست و چپ برابرند:

$$f'_+(1) = f'_-(1) = 3$$

پس تابع در $x = 1$ مشتق‌پذیر است و $f'(1) = 3$.