سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

$$2a + b = 60 \Rightarrow b = 60 - 2a \Rightarrow ab = a(60 - 2a) = 60a - 2a^2$$ $$(ab)' = 60 - 4a = 0 \Rightarrow a = 15 \Rightarrow b = 60 - 2 \times 15 = 30$$

گام ۱: حاصل‌ضرب را تابع یک متغیر کنیم. از شرط داده‌شده $b$ را بر حسب $a$ می‌نویسیم و در حاصل‌ضرب می‌گذاریم:

$$b = 60 - 2a \Rightarrow P(a) = ab = a(60 - 2a) = 60a - 2a^2$$

گام ۲: مشتق را صفر کنیم.

$$P'(a) = 60 - 4a = 0 \Rightarrow a = 15$$

گام ۳: مطمئن شویم که بیشینه است. $P(a) = -2a^2 + 60a$ یک سهمی رو به پایین است (ضریب $a^2$ منفی است)؛ پس تنها نقطهٔ بحرانی آن، یعنی رأس سهمی، بیشترین مقدار را می‌دهد. (از نگاه مشتق: برای $a < 15$ مشتق مثبت و برای $a > 15$ منفی است.)

گام ۴: مقدار $b$.

$$b = 60 - 2 \times 15 = 30$$

پس $a = 15$ و $b = 30$ است و بیشترین حاصل‌ضرب $15 \times 30 = 450$ است.