سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

الف)

$$\sin^2 22.5^\circ = \frac{1 - \cos 45^\circ}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \Rightarrow \sin 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$

ب)

$$T = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1 \quad , \quad \max = |-3| + 1 = 4 \quad , \quad \min = -|-3| + 1 = -2$$

ج)

$$2 \times \left(\sin x \cos x = \frac{\sqrt{2}}{4}\right) \Rightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin 2x = \sin \frac{\pi}{4}$$ $$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{8} \quad , \quad 2x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = k\pi + \frac{3\pi}{8}$$

الف) از اتحاد $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ نتیجه می‌شود:

$$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

با $\alpha = 22.5^\circ$ داریم $2\alpha = 45^\circ$ و $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sin^2 22.5^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$$

زاویهٔ $22.5^\circ$ در ربع اول است و سینوس آن مثبت است؛ پس ریشهٔ مثبت را برمی‌داریم:

$$\sin 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$

ب) برای تابع $y = a\cos(bx) + c$، دورهٔ تناوب $T = \frac{2\pi}{|b|}$، بیشترین مقدار $|a| + c$ و کمترین مقدار $-|a| + c$ است. اینجا $a = -3$، $b = 2\pi$ و $c = 1$:

$$T = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$$

دلیل ماکزیمم و مینیمم: $\cos 2\pi x$ بین $-1$ و $1$ است، پس $-3\cos 2\pi x$ بین $-3$ و $3$ و در نتیجه $y$ بین $-3 + 1$ و $3 + 1$ است:

$$\max = |-3| + 1 = 4 \quad , \quad \min = -|-3| + 1 = -2$$

ج) از اتحاد $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ استفاده می‌کنیم. دو طرف معادله را در ۲ ضرب می‌کنیم:

$$2\sin x \cos x = \frac{2\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4}$$

جواب‌های کلی معادلهٔ $\sin u = \sin \alpha$ به صورت $u = 2k\pi + \alpha$ و $u = 2k\pi + \pi - \alpha$ هستند ($k$ عدد صحیح). با $u = 2x$ و $\alpha = \frac{\pi}{4}$:

$$2x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{8}$$ $$2x = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{4} = 2k\pi + \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x = k\pi + \frac{3\pi}{8}$$