سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

نقطه‌های $(0, 0)$، $(3, -4)$ و $(6, 0)$ را به ترتیب به هم وصل می‌کنیم:

نمودار $f$ از دو پاره‌خط ساخته شده و سه نقطهٔ اصلی دارد: $(0, 0)$، $(1, 2)$ و $(2, 0)$. کافی است این سه نقطه را تبدیل کنیم و دوباره به هم وصل کنیم.

گام ۱: اثر $\frac{1}{3}x$. ضرب شدن $x$ در $\frac{1}{3}$ نمودار را در راستای افقی ۳ برابر باز می‌کند؛ یعنی طول هر نقطه ۳ برابر می‌شود.

گام ۲: اثر ضریب ۲. ضرب شدن تابع در ۲ نمودار را در راستای عمودی ۲ برابر می‌کند؛ یعنی عرض هر نقطه ۲ برابر می‌شود.

گام ۳: اثر علامت منفی. منفی شدن تابع، نمودار را نسبت به محور $x$ها قرینه می‌کند؛ یعنی علامت عرض‌ها عوض می‌شود.

پس هر نقطهٔ $(a, b)$ از نمودار $f$ به نقطهٔ $(3a, -2b)$ می‌رود. دلیلش این است که در $x = 3a$ داریم:

$$y = -2f\left(\frac{1}{3} \times 3a\right) = -2f(a) = -2b$$

با وصل کردن این سه نقطه، نمودار خواسته‌شده به دست می‌آید: از مبدأ تا $(3, -4)$ پایین می‌رود و از آنجا تا $(6, 0)$ بالا می‌آید. دامنهٔ آن هم از $[0, 2]$ به $[0, 6]$ تبدیل شده است.