سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

الف)

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

نقطهٔ $(1, 2)$ مینیمم نسبی و نقطهٔ $(-1, 6)$ ماکزیمم نسبی است.

ب)

$$g'(x) = 3x^2 + 2 \neq 0$$ $$g(-2) = (-2)^3 + 2(-2) - 5 = -8 - 4 - 5 = -17 \quad \text{(مینیمم مطلق)}$$ $$g(1) = 1 + 2 - 5 = -2 \quad \text{(ماکزیمم مطلق)}$$

الف) گام ۱: نقطه‌های بحرانی.

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = -1 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است (برای نمونه $f'(0) = -3$).

گام ۳: مقدار تابع در نقطه‌های بحرانی.

$$f(-1) = -1 + 3 + 4 = 6 \quad , \quad f(1) = 1 - 3 + 4 = 2$$

گام ۴: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

در $x = -1$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود، پس نقطهٔ $(-1, 6)$ ماکزیمم نسبی است. در $x = 1$ علامت $f'$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس نقطهٔ $(1, 2)$ مینیمم نسبی است.

ب) تابع $g$ چندجمله‌ای و در نتیجه روی بازهٔ بستهٔ $[-2, 1]$ پیوسته است؛ پس اکسترمم‌های مطلق آن حتماً وجود دارند و در نقطه‌های بحرانی درون بازه یا در دو سر بازه رخ می‌دهند.

نقطهٔ بحرانی:

$$g'(x) = 3x^2 + 2$$

چون $3x^2 \geq 0$، همیشه $g'(x) \geq 2 > 0$ است؛ پس $g'$ هیچ‌جا صفر نمی‌شود و تابع نقطهٔ بحرانی ندارد. در واقع $g$ اکیداً صعودی است.

مقدار تابع در دو سر بازه:

$$g(-2) = (-2)^3 + 2(-2) - 5 = -8 - 4 - 5 = -17$$ $$g(1) = 1^3 + 2(1) - 5 = -2$$

پس مینیمم مطلق $g$ برابر $-17$ (در $x = -2$) و ماکزیمم مطلق آن برابر $-2$ (در $x = 1$) است.