سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

$$D_f = [1, +\infty) \quad , \quad D_g = \mathbb{R}$$ $$D_{f \circ g} = \{x \mid x \in D_g ,\ g(x) \in D_f\} = \{x \mid x \in \mathbb{R} ,\ 2x^2 - 1 \in [1, +\infty)\} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$

گام ۱: دامنهٔ هر تابع. زیر رادیکال با فرجهٔ زوج نباید منفی باشد:

$$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \Rightarrow D_f = [1, +\infty)$$

تابع $g$ چندجمله‌ای است، پس $D_g = \mathbb{R}$.

گام ۲: تعریف دامنهٔ ترکیب. $x$ در دامنهٔ $f \circ g$ است اگر اول در دامنهٔ $g$ باشد و بعد، خروجی $g$ در دامنهٔ $f$ قرار بگیرد:

$$D_{f \circ g} = \{x \mid x \in D_g ,\ g(x) \in D_f\}$$

گام ۳: حل شرط. باید $g(x) = 2x^2 - 1$ در بازهٔ $[1, +\infty)$ باشد:

$$2x^2 - 1 \geq 1 \Rightarrow 2x^2 \geq 2 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1 \ \ \text{یا} \ \ x \geq 1$$

پس:

$$D_{f \circ g} = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$$

بررسی: برای $x = 0$ داریم $g(0) = -1$ و $f(-1) = \sqrt{-2}$ تعریف نمی‌شود؛ پس درست است که صفر در دامنه نیست.