سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

تابع حاصل‌ضرب دو عامل است: $u = \frac{1}{x}$ و $v = \left(2\sqrt{x} - 1\right)^4$. از قاعدهٔ مشتق ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(uv)' = u'v + uv'$$

مشتق $u$:

$$u = \frac{1}{x} \Rightarrow u' = -\frac{1}{x^2}$$

مشتق $v$: توانی از یک عبارت است؛ از قاعدهٔ $(w^n)' = n w^{n-1} w'$ استفاده می‌کنیم. مشتق $2\sqrt{x}$ برابر $\frac{2}{2\sqrt{x}}$ و مشتق عدد ثابت ۱ صفر است:

$$v' = 4\left(2\sqrt{x} - 1\right)^3 \times \left(\frac{2}{2\sqrt{x}} - 0\right)$$

کنار هم گذاشتن:

$$y' = -\frac{1}{x^2}\left(2\sqrt{x} - 1\right)^4 + \frac{1}{x} \times 4\left(2\sqrt{x} - 1\right)^3 \times \frac{2}{2\sqrt{x}}$$

ساده کردن لازم نیست، ولی اگر بخواهیم، $\frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ و با فاکتور گرفتن از $\frac{\left(2\sqrt{x} - 1\right)^3}{x^2}$:

$$y' = \frac{\left(2\sqrt{x} - 1\right)^3}{x^2}\left(-(2\sqrt{x} - 1) + 4\sqrt{x}\right) = \frac{\left(2\sqrt{x} - 1\right)^3\left(2\sqrt{x} + 1\right)}{x^2}$$