سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

$$f^{-1}(x) = 8x + 24 \Rightarrow f^{-1}(5) = 64$$ $$g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$$ $$(g^{-1} \circ f^{-1})(5) = g^{-1}(64) = \sqrt[3]{64} = 4$$

گام ۱: وارون $f$. در $y = \frac{1}{8}x - 3$، $x$ را بر حسب $y$ می‌نویسیم:

$$y + 3 = \frac{1}{8}x \Rightarrow x = 8(y + 3) = 8y + 24$$

جای $x$ و $y$ را عوض می‌کنیم:

$$f^{-1}(x) = 8x + 24 \Rightarrow f^{-1}(5) = 8 \times 5 + 24 = 64$$

گام ۲: وارون $g$. از $y = x^3$ نتیجه می‌شود $x = \sqrt[3]{y}$؛ پس:

$$g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$$

گام ۳: ترکیب. اول $f^{-1}$ را روی ۵ اثر می‌دهیم و بعد $g^{-1}$ را روی حاصل:

$$(g^{-1} \circ f^{-1})(5) = g^{-1}\big(f^{-1}(5)\big) = g^{-1}(64) = \sqrt[3]{64} = 4$$

بررسی: $g(4) = 64$ و $f(64) = \frac{64}{8} - 3 = 5$؛ پس جواب درست است.