سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

الف)

$$\lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{x}}{x^2 - 16} = \lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{x}}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{2 + \sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} = \lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{(x - 4)(x + 4)(2 + \sqrt{x})}$$ $$= \lim_{x \to 4} \frac{-1}{(x + 4)(2 + \sqrt{x})} = -\frac{1}{32}$$

ب)

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 - \cos x} = \frac{1}{1 - 1^-} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$

الف) با جای‌گذاری $x = 4$ صورت $2 - \sqrt{4} = 0$ و مخرج $16 - 16 = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ است. مخرج را تجزیه می‌کنیم و صورت و مخرج را در مزدوج صورت، یعنی $2 + \sqrt{x}$، ضرب می‌کنیم:

$$(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x}) = 4 - x = -(x - 4)$$ $$\frac{2 - \sqrt{x}}{x^2 - 16} = \frac{-(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)(2 + \sqrt{x})} = \frac{-1}{(x + 4)(2 + \sqrt{x})} \quad (x \neq 4)$$

حالا عامل صفرکننده حذف شده و می‌توانیم $x = 4$ را جای‌گذاری کنیم:

$$\lim_{x \to 4} \frac{-1}{(x + 4)(2 + \sqrt{x})} = \frac{-1}{(8)(4)} = -\frac{1}{32}$$

ب) وقتی $x$ از سمت راست به صفر نزدیک می‌شود، $\cos x$ به ۱ نزدیک می‌شود ولی کمی کمتر از ۱ است ($1^-$). پس مخرج $1 - \cos x$ عددی مثبت و بسیار کوچک است ($0^+$):

$$\lim_{x \to 0^+} (1 - \cos x) = 0^+$$

تقسیم ۱ بر عددی مثبت که به صفر نزدیک می‌شود، عددی مثبت و بی‌اندازه بزرگ می‌دهد:

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1 - \cos x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$

یعنی حد متناهی وجود ندارد و تابع به $+\infty$ میل می‌کند.