سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

پیشامد $A$ را «مهرهٔ انتخاب‌شده از ظرف دوم آبی باشد» می‌گیریم. رنگ این مهره به این بستگی دارد که چه مهره‌ای از ظرف اول به ظرف دوم رفته است؛ پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم و دو حالت را جدا حساب می‌کنیم.

ظرف اول $7 + 5 = 12$ مهره دارد. ظرف دوم $6 + 8 = 14$ مهره دارد و بعد از اضافه شدن یک مهره، ۱۵ مهره خواهد داشت.

حالت ۱: مهرهٔ منتقل‌شده آبی باشد. احتمال این حالت $\frac{7}{12}$ است. در این صورت ظرف دوم ۷ مهرهٔ آبی از ۱۵ مهره دارد:

$$P(A \mid \text{آبی}) = \frac{7}{15}$$

حالت ۲: مهرهٔ منتقل‌شده قرمز باشد. احتمال این حالت $\frac{5}{12}$ است. در این صورت ظرف دوم همان ۶ مهرهٔ آبی را از ۱۵ مهره دارد:

$$P(A \mid \text{قرمز}) = \frac{6}{15}$$

جمع دو حالت:

$$P(A) = \frac{7}{12} \times \frac{7}{15} + \frac{5}{12} \times \frac{6}{15} = \frac{49}{180} + \frac{30}{180} = \frac{79}{180}$$