سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — شهریور ۱۳۹۸

$$O(1, 0) \quad , \quad r = 2$$ $$d = \frac{|1(1) + 1(0) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} < 2$$

خط و دایره متقاطع‌اند.

برای تعیین وضعیت خط و دایره، فاصلهٔ مرکز دایره از خط ($d$) را با شعاع ($r$) مقایسه می‌کنیم:

• اگر $d > r$ باشد، خط و دایره نقطهٔ مشترک ندارند.
• اگر $d = r$ باشد، خط بر دایره مماس است.
• اگر $d < r$ باشد، خط و دایره در دو نقطه متقاطع‌اند.

گام ۱: مرکز و شعاع دایره. با مربع کامل کردن جمله‌های $x$:

$$x^2 - 2x + y^2 = 3 \Rightarrow (x - 1)^2 + y^2 = 3 + 1 = 4$$

پس مرکز $O(1, 0)$ و شعاع $r = \sqrt{4} = 2$ است.

گام ۲: فاصلهٔ مرکز از خط. خط را به صورت $x + y - 3 = 0$ می‌نویسیم. فاصلهٔ نقطهٔ $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$ برابر است با:

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ $$d = \frac{|1(1) + 1(0) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

گام ۳: مقایسه. $\sqrt{2} \approx 1.41$ از شعاع ۲ کوچک‌تر است:

$$d = \sqrt{2} < r = 2$$

پس خط و دایره متقاطع‌اند (در دو نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند).