سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

الف)

$$f'(x) = 3(2x)(x^2 + 1)^2(5x - 1) + 5(x^2 + 1)^3$$

ب)

$$g'(x) = \frac{9\sqrt{x} - \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(9x - 2)}{(\sqrt{x})^2}$$

الف) $f$ حاصل‌ضرب دو تابع است، پس از قاعدهٔ مشتق ضرب استفاده می‌کنیم:

$$(uv)' = u'v + uv'$$

با $u = (x^2 + 1)^3$ و $v = 5x - 1$. مشتق $u$ را با قاعدهٔ زنجیره‌ای (مشتق توان) می‌گیریم:

$$u' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot (2x) \qquad v' = 5$$

پس:

$$f'(x) = 3(2x)(x^2 + 1)^2(5x - 1) + 5(x^2 + 1)^3$$

ب) $g$ خارج‌قسمت دو تابع است، پس از قاعدهٔ مشتق تقسیم استفاده می‌کنیم:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

با $u = 9x - 2$ و $v = \sqrt{x}$:

$$u' = 9 \qquad v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

پس:

$$g'(x) = \frac{9\sqrt{x} - \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(9x - 2)}{(\sqrt{x})^2}$$

برای اطمینان می‌توان جواب را ساده کرد؛ مخرج $x$ است و صورت پس از هم‌مخرج کردن برابر $\frac{18x - (9x - 2)}{2\sqrt{x}} = \frac{9x + 2}{2\sqrt{x}}$ می‌شود:

$$g'(x) = \frac{9x + 2}{2x\sqrt{x}}$$

(همین را از نوشتن $g(x) = 9x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}$ و مشتق‌گیری جمله‌به‌جمله هم به دست می‌آوریم.)