سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

الف)

$$FF' = |3 - (-5)| = 8 = 2c \Rightarrow c = 4 \qquad O\left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{3 - 5}{2}\right) = (1, -1)$$

ب)

$$b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} \Rightarrow BB' = 2\sqrt{20} \qquad e = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$$

الف) دو کانون $F(1, 3)$ و $F'(1, -5)$ طول یکسان دارند، پس روی یک خط عمودی هستند و فاصله‌شان برابر اختلاف عرض‌هاست. فاصلهٔ کانونی ($FF' = 2c$):

$$FF' = |3 - (-5)| = 8 = 2c \Rightarrow c = 4$$

مرکز بیضی وسط پارهٔ‌خط $FF'$ است:

$$O\left(\frac{1 + 1}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = (1, -1)$$

ب) در بیضی، نصف قطر بزرگ ($a$)، نصف قطر کوچک ($b$) و نصف فاصلهٔ کانونی ($c$) این رابطه را دارند:

$$a^2 = b^2 + c^2$$

گام ۱: قطر کوچک.

$$b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

طول قطر کوچک دو برابر $b$ است:

$$BB' = 2b = 2\sqrt{20} = 4\sqrt{5}$$

گام ۲: خروج از مرکز.

$$e = \frac{c}{a} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

(خروج از مرکز بیضی همیشه بین ۰ و ۱ است و این جواب هم همین‌طور است.)