سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

الف)

$$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{2x + 3})}{x^2 - 2x - 3} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{2x + 3})}{(x + 1)(x - 3)} = -1$$

ب)

$$\lim_{x \to 3} \frac{2}{|x - 3|} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$

الف) اگر $x = -1$ را جایگذاری کنیم، صورت $(-1)^2 - 1 = 0$ و مخرج $-1 + \sqrt{1} = 0$ می‌شود؛ حالت مبهم $\frac{0}{0}$ است و باید رفعِ ابهام کنیم.

گام ۱: ضرب در مزدوج. صورت و مخرج را در مزدوج مخرج، یعنی $x - \sqrt{2x + 3}$، ضرب می‌کنیم. مخرج با اتحاد مزدوج ساده می‌شود:

$$(x + \sqrt{2x + 3})(x - \sqrt{2x + 3}) = x^2 - (2x + 3) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$$

گام ۲: تجزیهٔ صورت و ساده کردن. صورت هم $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ است؛ عامل $(x + 1)$ که صفر شدن را می‌سازد، از صورت و مخرج حذف می‌شود:

$$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{2x + 3})}{(x + 1)(x - 3)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x - \sqrt{2x + 3})}{x - 3}$$

گام ۳: جایگذاری.

$$\frac{(-1 - 1)(-1 - \sqrt{1})}{-1 - 3} = \frac{(-2)(-2)}{-4} = -1$$

ب) وقتی $x$ به ۳ نزدیک می‌شود (از چپ یا از راست)، $|x - 3|$ به صفر نزدیک می‌شود ولی همیشه مثبت است. صورت عدد ثابت ۲ است؛ پس کسر هر چه بخواهیم بزرگ می‌شود:

$$\lim_{x \to 3} \frac{2}{|x - 3|} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$

حد چپ و حد راست هر دو $+\infty$ هستند، پس حاصل $+\infty$ است (حد بی‌نهایت).