سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

الف)

$$D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\} = \{x \in [-6, +\infty) \mid \sqrt{x + 6} \in \mathbb{R}\} = [-6, +\infty)$$

ب) $h(x) = x^2 - 5$ با $x \ge 0$

الف) طبق تعریف، $x$ در دامنهٔ $f \circ g$ است هرگاه اولاً $g(x)$ تعریف شده باشد ($x \in D_g$) و ثانیاً $g(x)$ در دامنهٔ $f$ باشد.

گام ۱: دامنهٔ $g$. زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$x + 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6 \Rightarrow D_g = [-6, +\infty)$$

گام ۲: دامنهٔ $f$. $f$ یک چندجمله‌ای است، پس $D_f = \mathbb{R}$.

گام ۳: هر مقدار $\sqrt{x + 6}$ یک عدد حقیقی است و در $D_f = \mathbb{R}$ قرار دارد؛ پس شرط دوم چیزی را حذف نمی‌کند:

$$D_{f \circ g} = \{x \in [-6, +\infty) \mid \sqrt{x + 6} \in \mathbb{R}\} = [-6, +\infty)$$

ب) نمودار $f(x) = x^2 - 5$ یک سهمی با رأس $(0, -5)$ است و روی کل $\mathbb{R}$ یک‌به‌یک نیست؛ مثلاً $f(-1) = f(1) = -4$. پس روی $\mathbb{R}$ وارون ندارد.

سهمی در سمت راست رأس (یعنی برای $x \ge 0$) اکیداً صعودی است؛ تابع اکیداً صعودی یک‌به‌یک است و وارون دارد. پس دامنه را به $x \ge 0$ محدود می‌کنیم:

$$h(x) = x^2 - 5 \ ,\quad x \ge 0$$