سوال ۱۵ — سؤال ۱۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

$$O(2, -3) \ ,\quad r = 2 \ ,\quad d = \frac{|-3 + 1|}{\sqrt{0 + 1}} = 2$$

خط و دایره بر هم مماس هستند.

برای تعیین وضعیت خط و دایره، فاصلهٔ مرکز دایره از خط ($d$) را با شعاع ($r$) مقایسه می‌کنیم: اگر $d > r$ خط بیرون دایره است، اگر $d = r$ مماس است و اگر $d < r$ دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.

گام ۱: مرکز و شعاع. معادله به شکل $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ است:

$$O(2, -3) \qquad r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$$

گام ۲: فاصلهٔ مرکز از خط. خط $y = -1$ را به شکل $0x + y + 1 = 0$ می‌نویسیم و از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط استفاده می‌کنیم:

$$d = \frac{|0 \cdot 2 + (-3) + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{1} = 2$$

نتیجه: $d = r = 2$، پس خط و دایره بر هم مماس هستند.

(از روی شکل هم پیداست: بالاترین نقطهٔ دایره $(2, -3 + 2) = (2, -1)$ است که دقیقاً روی خط افقی $y = -1$ قرار دارد.)