سوال ۱۰ — سؤال ۱۰ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

$$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x - 0} = 1 \qquad f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 0}{x - 0} = 0$$ $$\Rightarrow f'_+(0) \ne f'_-(0)$$

پس $f'(0)$ موجود نیست.

مشتق راست و چپ در $x = 0$ را از تعریف حساب می‌کنیم. ابتدا مقدار تابع در صفر: چون $0 \ge 0$ است، از ضابطهٔ دوم $f(0) = 0$.

مشتق راست. برای $x > 0$ ضابطه $f(x) = x$ است:

$$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x - 0}{x - 0} = 1$$

مشتق چپ. برای $x < 0$ ضابطه $f(x) = x^2$ است:

$$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} x = 0$$

هر دو حد عددی متناهی شدند، پس $f'_+(0)$ و $f'_-(0)$ موجودند.

نتیجه. تابع در یک نقطه مشتق‌پذیر است فقط وقتی مشتق چپ و راست آنجا موجود و برابر باشند. اینجا:

$$f'_+(0) = 1 \ne 0 = f'_-(0)$$

پس $f'(0)$ موجود نیست. (در نمودار، در مبدأ یک نقطهٔ گوشه‌دار داریم: از چپ مماس افقی و از راست مماس با شیب ۱.)