سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

مشتق $f$ در هر نقطه، شیب خط مماس بر نمودار در آن نقطه است. پس برای هر نقطه نگاه می‌کنیم که نمودار آنجا بالا می‌رود یا پایین، و چقدر تند.

نقطهٔ $d$: نمودار در $d$ به قله (ماکزیمم) می‌رسد و خط مماس افقی است؛ پس شیب صفر است:

$$f'(d) = 0$$

نقطهٔ $a$: بین مبدأ و پایین‌ترین نقطهٔ منحنی است؛ آنجا نمودار با بزرگ شدن $x$ پایین می‌رود (تابع نزولی است)، پس شیب منفی است. تنها عدد منفی جدول $-0.5$ است:

$$f'(a) = -0.5$$

نقطه‌های $b$ و $c$: هر دو روی بخش صعودی نمودار هستند، پس شیب هر دو مثبت است. نقطهٔ $b$ درست بعد از پایین‌ترین نقطه است و نمودار آنجا تازه و آرام بالا می‌رود (شیب کم)، ولی در $c$ نمودار خیلی تند بالا می‌رود (شیب زیاد). پس:

$$f'(b) = 0.5 \qquad f'(c) = 2$$