سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

الف) نادرست — ب) درست — ج) نادرست

الف) نادرست. ضرب کردن ضابطه در عدد $k$ نمودار را در راستای عمودی کشیده یا فشرده می‌کند (و اگر $k$ منفی باشد، قرینه هم می‌کند)؛ پس عرض نقطه‌ها و در نتیجه برد تابع معمولاً عوض می‌شود. یک مثال نقض کافی است:

دو برد برابر نیستند، پس عبارت در حالت کلی درست نیست.

ب) درست. طبق قضیهٔ باقی‌مانده، باقی‌ماندهٔ تقسیم $f(x)$ بر $x + 2$ برابر $f(-2)$ است:

باقی‌مانده صفر است، پس $f(x)$ بر $x + 2$ بخش‌پذیر است.

ج) نادرست. دو پیشامدی که با هم رخ نمی‌دهند ($A \cap B = \varnothing$) ناسازگار هستند، نه مستقل. دو پیشامد مستقل‌اند هرگاه:

اگر $A$ و $B$ ناسازگار باشند و احتمال هر دو مثبت باشد، $P(A \cap B) = 0$ است ولی $P(A)\,P(B) > 0$؛ پس چنین پیشامدهایی اصلاً مستقل نیستند (رخ دادن یکی، رخ دادن دیگری را ناممکن می‌کند).