سوال ۴ — سؤال ۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

$$(f \circ g)(x) = f\left(\frac{x + 4}{3}\right) = 3\left(\frac{x + 4}{3}\right) - 4 = x$$ $$(g \circ f)(x) = g(3x - 4) = \frac{3x - 4 + 4}{3} = x$$

دو تابع $f$ و $g$ وارون یکدیگرند هرگاه ترکیب آن‌ها در هر دو ترتیب، تابع همانی شود:

$$(f \circ g)(x) = x \quad \text{و} \quad (g \circ f)(x) = x$$

دامنهٔ هر دو تابع $\mathbb{R}$ است، پس کافی است این دو تساوی را برای هر $x$ حقیقی نشان دهیم.

گام ۱: $f \circ g$. در ضابطهٔ $f$ به جای $x$ عبارت $g(x)$ را می‌گذاریم:

$$(f \circ g)(x) = 3\left(\frac{x + 4}{3}\right) - 4 = (x + 4) - 4 = x$$

گام ۲: $g \circ f$. در ضابطهٔ $g$ به جای $x$ عبارت $f(x)$ را می‌گذاریم:

$$(g \circ f)(x) = \frac{(3x - 4) + 4}{3} = \frac{3x}{3} = x$$

هر دو ترکیب برابر $x$ شدند، پس $f$ و $g$ وارون یکدیگرند.