سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

$$f = xy \ \rightarrow\ f(x) = x(x + 10) = x^2 + 10x \ \rightarrow\ f'(x) = 2x + 10 = 0$$ $$x = -5 \ ,\quad y = 5$$

گام ۱: ساختن تابع. دو عدد را $x$ و $y$ می‌نامیم و فرض می‌کنیم $y$ بزرگ‌تر است. تفاضل آن‌ها ۱۰ است:

$$y - x = 10 \Rightarrow y = x + 10$$

حاصل‌ضرب را بر حسب یک متغیر می‌نویسیم:

$$f(x) = xy = x(x + 10) = x^2 + 10x$$

گام ۲: کمترین مقدار. مشتق را برابر صفر می‌گذاریم:

$$f'(x) = 2x + 10 = 0 \Rightarrow x = -5$$

علامت $f'$ در $x = -5$ از منفی به مثبت عوض می‌شود (نمودار $f$ سهمی رو به بالاست)، پس این نقطه مینیمم است.

گام ۳: عدد دوم.

$$y = x + 10 = -5 + 10 = 5$$

پس دو عدد $-5$ و $5$ هستند؛ تفاضلشان $5 - (-5) = 10$ است و کمترین حاصل‌ضرب ممکن $(-5)(5) = -25$ است.