سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

$$2\cos^2 x - 1 - \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x\,(2\cos x - 1) = 0$$ $$\cos x = 0 \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2} \qquad \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3}$$

گام ۱: همه‌چیز بر حسب $\cos x$. از اتحاد $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ استفاده می‌کنیم:

$$2\cos^2 x - 1 - \cos x + 1 = 0 \Rightarrow 2\cos^2 x - \cos x = 0$$

گام ۲: فاکتورگیری. از $\cos x$ فاکتور می‌گیریم:

$$\cos x\,(2\cos x - 1) = 0$$

حاصل‌ضرب صفر است، پس یکی از دو عامل صفر است.

حالت اول:

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = k\pi + \frac{\pi}{2} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

حالت دوم:

$$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \Rightarrow x = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

جواب معادله، همهٔ $x$هایی است که در یکی از این دو دسته قرار می‌گیرند.