سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۸

$$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 0 \Rightarrow x = 1 \ \ \text{یا} \ \ x = -3$$

گام ۱: نقاط بحرانی. نقاط بحرانی، نقطه‌هایی از دامنه‌اند که مشتق در آن‌ها صفر است یا وجود ندارد. $f$ چندجمله‌ای است و مشتقش همه‌جا وجود دارد، پس فقط ریشه‌های $f'$ را پیدا می‌کنیم:

$$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x + 3)(x - 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -3 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است (مثلاً $f'(0) = -9$ منفی است).

گام ۳: مقدار تابع در نقاط بحرانی.

$$f(-3) = -27 + 27 + 27 - 10 = 17$$ $$f(1) = 1 + 3 - 9 - 10 = -15$$

گام ۴: جدول تغییرات. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: در $x = -3$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود (تابع از صعودی به نزولی می‌رود)، پس نقطهٔ $(-3, 17)$ ماکزیمم نسبی است. در $x = 1$ علامت $f'$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس نقطهٔ $(1, -15)$ مینیمم نسبی است.