سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

الف)

$$f'(x) = 5(x^4 - 3x)^4(4x^3 - 3)$$

ب)

$$g'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(1 - x) - (-1)\sqrt{x}}{(1 - x)^2}$$

الف) تابع به شکل $u^5$ است با $u = x^4 - 3x$. طبق قاعدهٔ مشتق توان (قاعدهٔ زنجیری):

$$(u^n)' = n\,u^{n - 1}\,u'$$

مشتق عبارت داخل پرانتز $u' = 4x^3 - 3$ است؛ پس:

$$f'(x) = 5(x^4 - 3x)^4(4x^3 - 3)$$

ب) تابع کسری است؛ از قاعدهٔ مشتق خارج قسمت استفاده می‌کنیم:

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

با $u = \sqrt{x}$ و $v = 1 - x$:

$$u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} , \qquad v' = -1$$ $$g'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(1 - x) - (-1)\sqrt{x}}{(1 - x)^2}$$

ساده کردن لازم نیست، ولی اگر صورت را هم‌مخرج کنیم به شکل کوتاه‌تری می‌رسیم:

$$\frac{1 - x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} = \frac{1 - x + 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{1 + x}{2\sqrt{x}} \Rightarrow g'(x) = \frac{1 + x}{2\sqrt{x}\,(1 - x)^2}$$