سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

الف) در $x = 0$ نقطهٔ گوشه‌ای است و تابع در آن مشتق‌ناپذیر است.

ب)

$$f'(x) = \begin{cases} 2 & x < 0 \\ 2x & x > 0 \end{cases}$$

ج)

الف) مقدار تابع در صفر از ضابطهٔ دوم به دست می‌آید: $f(0) = 0^2 - 1 = -1$. مشتق چپ و راست را در صفر با تعریف حساب می‌کنیم.

مشتق چپ (برای $x < 0$ از ضابطهٔ $2x - 1$):

$$f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{(2x - 1) - (-1)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{2x}{x} = 2$$

مشتق راست (برای $x > 0$ از ضابطهٔ $x^2 - 1$):

$$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x^2 - 1) - (-1)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} x = 0$$

مشتق چپ ($2$) و مشتق راست ($0$) برابر نیستند؛ پس $f'(0)$ وجود ندارد. تابع در صفر پیوسته است (هر دو ضابطه در صفر به $-1$ می‌رسند) ولی دو تکهٔ نمودار با دو شیب متفاوت به هم می‌رسند و نمودار در $x = 0$ یک نقطهٔ گوشه‌ای دارد.

ب) هر ضابطه را جداگانه مشتق می‌گیریم:

$$x < 0: \ (2x - 1)' = 2 \qquad\qquad x > 0: \ (x^2 - 1)' = 2x$$ $$f'(x) = \begin{cases} 2 & x < 0 \\ 2x & x > 0 \end{cases}$$

نقطهٔ $x = 0$ در دامنهٔ $f'$ نیست، چون طبق بخش الف مشتق در آن وجود ندارد.

ج) در سمت چپ محور $y$، نمودار $f'$ خط افقی $y = 2$ است و در سمت راست، قسمتی از خط $y = 2x$ که از مبدأ بالا می‌رود. چون $x = 0$ در دامنهٔ $f'$ نیست، دو سر این تکه‌ها، یعنی نقطه‌های $(0, 2)$ و $(0, 0)$، با دایرهٔ توخالی نشان داده می‌شوند.