سوال ۱۶ — سؤال ۱۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

پیشامد $A$ را «آبی بودن مهره» و $B_1$، $B_2$ و $B_3$ را «انتخاب ظرف اول، دوم و سوم» می‌گیریم. مهره حتماً از یکی از این سه ظرف می‌آید؛ پس از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم:

$$P(A) = P(B_1)P(A \mid B_1) + P(B_2)P(A \mid B_2) + P(B_3)P(A \mid B_3)$$

گام ۱: احتمال انتخاب هر ظرف. ظرف‌ها یکسان‌اند و با چشم بسته انتخاب می‌شوند:

$$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$$

گام ۲: احتمال آبی بودن در هر ظرف.

• ظرف اول ۹ مهره دارد که ۴ تای آن آبی است: $P(A \mid B_1) = \frac{4}{9}$
• ظرف دوم ۱۰ مهره دارد که ۳ تای آن آبی است: $P(A \mid B_2) = \frac{3}{10}$
• ظرف سوم مهرهٔ آبی ندارد: $P(A \mid B_3) = 0$

گام ۳: جمع کردن.

$$P(A) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times 0 = \frac{1}{3}\left(\frac{40}{90} + \frac{27}{90}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{67}{90} = \frac{67}{270}$$