سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

$$V(x) = (1 - 2x)^2 \times x = x - 4x^2 + 4x^3$$ $$V'(x) = 1 - 8x + 12x^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} , \ x = \frac{1}{6}$$

$x = \frac{1}{6}$ قابل قبول است.

گام ۱: ابعاد جعبه. از هر ضلع ورق (به طول ۱ متر) دو پارهٔ $x$ در دو سر بریده و بالا برگردانده می‌شود؛ پس کف جعبه مربعی به ضلع $1 - 2x$ است و ارتفاع جعبه $x$ است. طول‌ها باید مثبت باشند:

$$x > 0 , \quad 1 - 2x > 0 \Rightarrow 0 < x < \frac{1}{2}$$

گام ۲: تابع حجم. حجم برابر مساحت کف ضرب در ارتفاع است:

$$V(x) = (1 - 2x)^2 \times x = x(1 - 4x + 4x^2) = x - 4x^2 + 4x^3$$

گام ۳: نقطه‌های بحرانی.

$$V'(x) = 1 - 8x + 12x^2 = (6x - 1)(2x - 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{6} \ \ \text{یا} \ \ x = \frac{1}{2}$$

$x = \frac{1}{2}$ قابل قبول نیست: در این حالت ضلع کف $1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$ می‌شود و جعبه‌ای ساخته نمی‌شود (حجم صفر است). پس فقط $x = \frac{1}{6}$ می‌ماند.

گام ۴: ماکزیمم بودن. علامت $V'$ را بررسی می‌کنیم؛ مثلاً $V'(0) = 1 > 0$ و $V'\left(\frac{1}{3}\right) = 1 - \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. جدول تغییرات را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

نتیجه: حجم جعبه در $x = \frac{1}{6}$ متر (حدود ۱۶٫۷ سانتی‌متر) بیشترین مقدار را دارد. مقدار این حجم:

$$V\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}\left(1 - \frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{6} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{27}\ \mathrm{m^3}$$