سوال ۱۱ — سؤال ۱۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

$$f'(x) = 2ax + b \Rightarrow 0 = 2a + b \Rightarrow b = -2a$$ $$f(1) = 7 \Rightarrow 7 = a + b \Rightarrow a = -7 , \ b = 14$$

دو اطلاع داریم و از هر کدام یک معادله می‌سازیم.

گام ۱: مشتق در نقطهٔ اکسترمم صفر است. تابع چندجمله‌ای همه جا مشتق‌پذیر است، پس در نقطهٔ ماکزیمم نسبی مشتق آن صفر است:

$$f'(x) = 2ax + b \Rightarrow f'(1) = 2a + b = 0 \Rightarrow b = -2a$$

گام ۲: مقدار ماکزیمم ۷ است.

$$f(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b = 7$$

گام ۳: حل دستگاه. به جای $b$ مقدار $-2a$ را می‌گذاریم:

$$a - 2a = 7 \Rightarrow -a = 7 \Rightarrow a = -7 \Rightarrow b = -2(-7) = 14$$

بررسی: $f(x) = -7x^2 + 14x$ سهمی رو به پایین است (ضریب $x^2$ منفی است)، رأس آن در $x = -\frac{14}{2(-7)} = 1$ قرار دارد و $f(1) = -7 + 14 = 7$؛ پس واقعاً در $x = 1$ ماکزیمم برابر ۷ دارد.