سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

طبق تعریف، $x$ در دامنهٔ $g \circ f$ است هرگاه اول $f(x)$ تعریف شده باشد و بعد $f(x)$ در دامنهٔ $g$ باشد:

$$D_{g \circ f} = \{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}$$

گام ۱: دامنهٔ $f$. زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4 \Rightarrow D_f = [4, +\infty)$$

گام ۲: دامنهٔ $g$. مخرج نباید صفر شود:

$$x^2 - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1 \Rightarrow D_g = \mathbb{R} - \{-1, 1\}$$

گام ۳: شرط $f(x) \in D_g$. یعنی $\sqrt{x - 4} \ne \pm 1$. رادیکال هیچ‌وقت منفی نیست، پس $\sqrt{x - 4} = -1$ هرگز رخ نمی‌دهد. فقط باید $\sqrt{x - 4} = 1$ را کنار بگذاریم:

$$\sqrt{x - 4} = 1 \Rightarrow x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5$$

نتیجه: از $x \ge 4$ فقط $x = 5$ کنار می‌رود:

$$D_{g \circ f} = [4, 5) \cup (5, +\infty)$$

(بررسی: $(g \circ f)(x) = \frac{1}{(\sqrt{x - 4})^2 - 1} = \frac{1}{x - 5}$ با شرط $x \ge 4$؛ این عبارت هم فقط در $x = 5$ تعریف نشده است.)