سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

الف)

$$\max = |-2| + 1 = 3 , \qquad \min = -|-2| + 1 = -1$$

ب)

$$1 - 2\sin^2\alpha - \sin\alpha + 1 = 1 \Rightarrow 2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} \sin\alpha = -1 \\ \sin\alpha = \frac{1}{2} \end{cases}$$ $$\alpha = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \ , \qquad \alpha = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \ , \qquad \alpha = (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{6} \qquad (k \in \mathbb{Z})$$

الف) سینوسِ هر زاویه‌ای بین $-1$ و $1$ است:

$$-1 \le \sin\left(-\frac{\pi}{3}x\right) \le 1$$

دو طرف را در $-2$ ضرب می‌کنیم (با ضرب در عدد منفی، جهت نامساوی‌ها عوض می‌شود) و بعد ۱ اضافه می‌کنیم:

$$-2 \le -2\sin\left(-\frac{\pi}{3}x\right) \le 2 \Rightarrow -1 \le 1 - 2\sin\left(-\frac{\pi}{3}x\right) \le 3$$

پس بیشترین مقدار تابع $3$ و کمترین مقدار آن $-1$ است. این همان قاعدهٔ کلی است: برای $y = a\sin(bx) + c$، بیشینه $|a| + c$ و کمینه $-|a| + c$ است؛ این‌جا $a = -2$ و $c = 1$:

$$\max = |-2| + 1 = 3 , \qquad \min = -|-2| + 1 = -1$$

ب) گام ۱: همه را برحسب $\sin\alpha$ بنویسیم. از اتحاد $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ استفاده می‌کنیم:

$$1 - 2\sin^2\alpha - \sin\alpha + 1 = 1 \Rightarrow -2\sin^2\alpha - \sin\alpha + 1 = 0 \Rightarrow 2\sin^2\alpha + \sin\alpha - 1 = 0$$

گام ۲: حل معادلهٔ درجهٔ دوم. با $t = \sin\alpha$:

$$2t^2 + t - 1 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ t = -1$$

گام ۳: جواب‌های کلی.

اگر $\sin\alpha = -1$ باشد، زاویه در پایین‌ترین نقطهٔ دایرهٔ مثلثاتی است:

$$\alpha = 2k\pi - \frac{\pi}{2}$$

اگر $\sin\alpha = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$ باشد، طبق جواب کلی $\sin\alpha = \sin\theta$ (یعنی $\alpha = 2k\pi + \theta$ یا $\alpha = 2k\pi + \pi - \theta$):

$$\alpha = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \qquad \text{یا} \qquad \alpha = 2k\pi + \pi - \frac{\pi}{6} = (2k + 1)\pi - \frac{\pi}{6}$$

که در همهٔ آن‌ها $k$ عدد صحیح است.