سوال ۱۴ — سؤال ۱۴ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

$$O_1 = (-1, 2) , \quad r_1 = 1$$ $$O_2 : \begin{cases} -\frac{a}{2} = 1 \\ -\frac{b}{2} = -2 \end{cases} , \qquad r_2 = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = 2$$ $$d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{20} \ , \qquad \sqrt{20} > 1 + 2 = 3$$

دو دایره متخارج هستند.

برای تعیین وضعیت دو دایره، فاصلهٔ دو مرکز ($d$) را با مجموع و تفاضل دو شعاع مقایسه می‌کنیم. اگر $d > r_1 + r_2$ باشد، دو دایره کاملاً بیرون هم‌اند (متخارج).

گام ۱: دایرهٔ اول. معادله به شکل استاندارد $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ است:

$$O_1 = (-1, 2) , \qquad r_1^2 = 1 \Rightarrow r_1 = 1$$

گام ۲: دایرهٔ دوم. معادله به شکل $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ است با $a = -2$، $b = 4$ و $c = 1$. مرکز $\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)$ است:

$$O_2 = \left(-\frac{-2}{2}, -\frac{4}{2}\right) = (1, -2)$$ $$r_2 = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 - 4c} = \frac{1}{2}\sqrt{4 + 16 - 4} = \frac{1}{2}\sqrt{16} = 2$$

گام ۳: فاصلهٔ دو مرکز.

$$d = |O_1 O_2| = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$

گام ۴: مقایسه. مجموع شعاع‌ها $r_1 + r_2 = 3 = \sqrt{9}$ است و $\sqrt{20} > \sqrt{9}$؛ پس:

$$d = \sqrt{20} > r_1 + r_2 = 3$$

فاصلهٔ دو مرکز از مجموع شعاع‌ها بیشتر است؛ پس دو دایره متخارج هستند (هیچ نقطهٔ مشترکی ندارند و هیچ‌کدام درون دیگری نیست).