سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

تعریف مشتق در نقطهٔ $a$:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

گام ۱: مقدار تابع در $-1$.

$$f(-1) = (-1)^3 - 2 = -1 - 2 = -3$$

گام ۲: نوشتن حد. با $a = -1$ مخرج $x - (-1) = x + 1$ می‌شود:

$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{(x^3 - 2) - (-3)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$$

گام ۳: رفع ابهام. با جای‌گذاری به $\frac{0}{0}$ می‌رسیم. صورت را با اتحاد مجموع مکعب‌ها تجزیه می‌کنیم:

$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$$ $$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} (x^2 - x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3$$

(بررسی با قاعدهٔ مشتق: $f'(x) = 3x^2$ و $f'(-1) = 3$.)