سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

الف) آ)

$$\lim_{x \to 0^-} \frac{[x]}{\sin x} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$

ب)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{(x + 2)(x - 1)(x + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)(x + \sqrt{x})} = \frac{1}{6}$$

ب) آ) $-2$ — ب) $+\infty$

الف) آ) وقتی $x$ از سمت چپ به صفر نزدیک می‌شود، $x$ عددی منفی و نزدیک صفر است (مثلاً $-0.01$)؛ پس $-1 < x < 0$ و جزء صحیح آن $[x] = -1$ است.

در همین حال $\sin x$ هم منفی است و به صفر نزدیک می‌شود، یعنی $\sin x \to 0^-$. صورت ثابتِ $-1$ و مخرج عددی منفی و بسیار کوچک است؛ حاصل تقسیم دو عدد منفی، مثبت و بسیار بزرگ می‌شود:

$$\lim_{x \to 0^-} \frac{[x]}{\sin x} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$

الف) ب) با جای‌گذاری $x = 1$ به $\frac{0}{0}$ می‌رسیم (رفع ابهام لازم است). صورت و مخرج را در مزدوج صورت، $x + \sqrt{x}$، ضرب می‌کنیم:

$$(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x}) = x^2 - x = x(x - 1)$$ $$\lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{(x + 2)(x - 1)(x + \sqrt{x})} = \lim_{x \to 1} \frac{x}{(x + 2)(x + \sqrt{x})} = \frac{1}{(3)(2)} = \frac{1}{6}$$

ب) آ) وقتی $x$ به سمت $+\infty$ می‌رود، نمودار به خط‌چین افقی $y = -2$ (مجانب افقی) نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود؛ پس:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$$

ب) ب) وقتی $x$ از سمت راست به $-1$ نزدیک می‌شود، نمودار در کنار خط‌چین قائم $x = -1$ (مجانب قائم) بی‌وقفه بالا می‌رود؛ پس:

$$\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$$