سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — خرداد ۱۳۹۸

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 \Rightarrow f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = -2 \notin [-1, 3] \\ x = 1 \end{cases}$$ $$f(1) = -7 , \quad f(-1) = 13 , \quad f(3) = 45$$

نقطهٔ $(1, -7)$ مینیمم مطلق و نقطهٔ $(3, 45)$ ماکزیمم مطلق است.

تابع چندجمله‌ای روی بازهٔ بستهٔ $[-1, 3]$ پیوسته است؛ پس اکسترمم‌های مطلق آن حتماً وجود دارند و یا در نقطه‌های بحرانیِ درون بازه رخ می‌دهند یا در دو سر بازه.

گام ۱: نقطه‌های بحرانی.

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x + 2)(x - 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -2 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

$x = -2$ بیرون بازهٔ $[-1, 3]$ است و کنار گذاشته می‌شود؛ فقط $x = 1$ می‌ماند.

گام ۲: مقدار تابع در نقطهٔ بحرانی و دو سر بازه.

$$f(1) = 2 + 3 - 12 = -7$$ $$f(-1) = -2 + 3 + 12 = 13$$ $$f(3) = 54 + 27 - 36 = 45$$

گام ۳: مقایسه. بزرگ‌ترین این مقدارها $45$ و کوچک‌ترین $-7$ است. پس:

• ماکزیمم مطلق برابر $45$ است و در $x = 3$ رخ می‌دهد (نقطهٔ $(3, 45)$).
• مینیمم مطلق برابر $-7$ است و در $x = 1$ رخ می‌دهد (نقطهٔ $(1, -7)$).