سوال ۹ — سؤال ۹ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

طبق تعریف، مشتق تابع در نقطهٔ $a$ برابر است با:

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

اینجا $a = -1$ است. اول $f(-1)$ را حساب می‌کنیم:

$$f(-1) = 1 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$$

حالا صورت کسر:

$$f(x) - f(-1) = (1 - 2x^2) - (-1) = 2 - 2x^2 = 2(1 - x^2) = 2(1 - x)(1 + x)$$

و مخرج $x - (-1) = x + 1$ است. پس:

$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} \frac{2(1 - x)(1 + x)}{x + 1} = \lim_{x \to -1} 2(1 - x) = 2\big(1 - (-1)\big) = 4$$

بررسی با قاعدهٔ مشتق: $f'(x) = -4x$ و در نتیجه $f'(-1) = 4$.