سوال ۳ — سؤال ۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

الف)

$$D_{f \circ g} = \{x \in D_g \mid g(x) \in D_f\} = \{x \in \mathbb{R} \mid 3x - 1 \neq 0\} = \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{3}\right\}$$

ب)

$$g^{-1} \circ f^{-1}(5) = g^{-1}(64) = 4$$

الف) طبق تعریف، $x$ در دامنهٔ $f \circ g$ است اگر اول $g(x)$ تعریف شده باشد ($x \in D_g$) و بعد $g(x)$ در دامنهٔ $f$ باشد.

دامنهٔ $g$ همهٔ عددهای حقیقی است. در $f$ مخرج $2x$ نباید صفر شود، پس $D_f = \mathbb{R} - \{0\}$. بنابراین باید $g(x) \neq 0$ باشد:

$$3x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$$ $$D_{f \circ g} = \mathbb{R} - \left\{\frac{1}{3}\right\}$$

ب) $g^{-1} \circ f^{-1}(5)$ یعنی $g^{-1}\big(f^{-1}(5)\big)$؛ پس اول $f^{-1}(5)$ را پیدا می‌کنیم.

$f^{-1}(5)$ عددی است که $f$ آن را به ۵ می‌برد:

$$\frac{1}{8}x - 3 = 5 \Rightarrow \frac{1}{8}x = 8 \Rightarrow x = 64 \Rightarrow f^{-1}(5) = 64$$

حالا $g^{-1}(64)$ عددی است که مکعب آن ۶۴ باشد:

$$x^3 = 64 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow g^{-1}(64) = 4$$

بررسی: $g(4) = 64$ و $f(64) = \frac{64}{8} - 3 = 5$؛ پس درست است.