سوال ۷ — سؤال ۷ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

الف)

$$\lim_{x \to 3^-} \frac{[x] - 3}{x - 3} = \frac{2 - 3}{0^-} = +\infty$$

ب)

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3)(\sqrt{x + 1} + 2) = 24$$

الف) وقتی $x$ از سمت چپ به ۳ نزدیک می‌شود، $x$ کمی کمتر از ۳ و بین ۲ و ۳ است؛ پس جزء صحیح آن $[x] = 2$ است و صورت کسر به $2 - 3 = -1$ می‌رسد.

مخرج $x - 3$ به صفر نزدیک می‌شود و چون $x < 3$ است، منفی است ($0^-$).

تقسیم یک عدد منفی ($-1$) بر عددی منفی و بسیار کوچک، عددی مثبت و بسیار بزرگ می‌دهد:

$$\lim_{x \to 3^-} \frac{[x] - 3}{x - 3} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$

ب) با جایگذاری $x = 3$ صورت $9 - 9 = 0$ و مخرج $\sqrt{4} - 2 = 0$ می‌شود؛ حالت $\frac{0}{0}$ است و باید رفع ابهام کنیم.

صورت و مخرج را در مزدوج مخرج، یعنی $\sqrt{x + 1} + 2$، ضرب می‌کنیم. مخرج این‌طور ساده می‌شود:

$$(\sqrt{x + 1} - 2)(\sqrt{x + 1} + 2) = (x + 1) - 4 = x - 3$$

صورت را هم تجزیه می‌کنیم: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. پس:

$$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)(\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3)(\sqrt{x + 1} + 2)$$

حالا عامل صفرکنندهٔ $x - 3$ حذف شده و می‌توان جایگذاری کرد:

$$(3 + 3)(\sqrt{4} + 2) = 6 \times 4 = 24$$