سوال ۱۲ — سؤال ۱۲ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

الف)

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 1 \ \ \text{یا} \ \ x = -2$$

ب)

$$f(1) = -7 \qquad -2 \notin [-1, 3] \qquad f(-1) = 13 \qquad f(3) = 45$$

مینیمم مطلق: $(1, -7)$ — ماکزیمم مطلق: $(3, 45)$

نقطهٔ بحرانی: $(1, -7)$

الف) گام ۱: مشتق و ریشه‌های آن.

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x + 2)(x - 1)$$ $$f'(x) = 0 \Rightarrow x = -2 \ \ \text{یا} \ \ x = 1$$

گام ۲: علامت $f'$. $f'$ یک عبارت درجهٔ دوم با ضریب $x^2$ مثبت است؛ پس بیرونِ دو ریشه مثبت و بین دو ریشه منفی است (مثلاً $f'(0) = -12$ منفی است).

گام ۳: جدول تغییرات. هر جا $f'$ مثبت است تابع صعودی و هر جا منفی است نزولی است. جدول را از بالا به پایین به ترتیب بزرگ شدن $x$ می‌خوانیم:

در $x = -2$ علامت $f'$ از مثبت به منفی عوض می‌شود، پس ماکزیمم نسبی است؛ در $x = 1$ از منفی به مثبت، پس مینیمم نسبی است. عرض این نقطه‌ها:

$$f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) = -16 + 12 + 24 = 20 \qquad f(1) = 2 + 3 - 12 = -7$$

پس نقطهٔ ماکزیمم نسبی $(-2, 20)$ و نقطهٔ مینیمم نسبی $(1, -7)$ است.

ب) نقطهٔ بحرانی، نقطه‌ای درون بازه است که مشتق در آن صفر شود یا وجود نداشته باشد. $f'$ همه جا وجود دارد و فقط در $x = -2$ و $x = 1$ صفر است. چون $-2$ در بازهٔ $[-1, 3]$ نیست، تنها نقطهٔ بحرانی در این بازه $x = 1$ است، یعنی نقطهٔ $(1, -7)$.

برای اکسترمم مطلق در یک بازهٔ بسته، مقدار تابع را در نقطهٔ بحرانی و در دو سر بازه حساب و مقایسه می‌کنیم:

$$f(-1) = -2 + 3 + 12 = 13$$ $$f(1) = -7$$ $$f(3) = 54 + 27 - 36 = 45$$

کوچک‌ترین مقدار $-7$ و بزرگ‌ترین مقدار $45$ است؛ پس مینیمم مطلق $(1, -7)$ و ماکزیمم مطلق $(3, 45)$ است.