سوال ۵ — سؤال ۵ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

الف)

$$\max = |-3| + 2 = 5 \qquad \min = -|-3| + 2 = -1 \qquad T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

ب)

$$2x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} \Rightarrow x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$$

الف) تابع را به شکل $y = a\sin(bx) + c$ می‌نویسیم:

$$y = -3\sin(4x) + 2 \Rightarrow a = -3 ,\ b = 4 ,\ c = 2$$

مقدار $\sin 4x$ همیشه بین $-1$ و $1$ است، پس $-3\sin 4x$ بین $-3$ و $3$ تغییر می‌کند و بعد ۲ واحد به آن اضافه می‌شود:

$$\max = |a| + c = 3 + 2 = 5 \qquad \min = -|a| + c = -3 + 2 = -1$$

(بیشینه وقتی است که $\sin 4x = -1$ و کمینه وقتی که $\sin 4x = 1$.)

دورهٔ تناوب $\sin(bx)$ برابر $\frac{2\pi}{|b|}$ است:

$$T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$$

ب) تانژانت در نقطه‌هایی که کسینوس صفر است تعریف نمی‌شود، یعنی $\tan u$ به ازای $u = k\pi + \frac{\pi}{2}$ ($k$ عدد صحیح) تعریف نشده است. اینجا $u = 2x$ است:

$$2x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} \Rightarrow x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$$

پس دامنه:

$$D_f = \mathbb{R} - \left\{\frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \ \Big|\ k \in \mathbb{Z}\right\}$$