سوال ۱۳ — سؤال ۱۳ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

$$2x + 2y = 24 \Rightarrow x + y = 12 \Rightarrow y = 12 - x$$ $$S(x) = xy = x(12 - x) = 12x - x^2$$ $$S'(x) = 12 - 2x = 0 \Rightarrow x = 6 \ ,\ y = 6$$

گام ۱: متغیرها و قید. طول مستطیل را $x$ و عرض آن را $y$ (به سانتی‌متر) می‌گیریم. محیط ۲۴ است:

$$2x + 2y = 24 \Rightarrow x + y = 12 \Rightarrow y = 12 - x$$

گام ۲: مساحت برحسب یک متغیر.

$$S(x) = xy = x(12 - x) = 12x - x^2 \qquad (0 < x < 12)$$

گام ۳: مشتق را صفر می‌کنیم.

$$S'(x) = 12 - 2x = 0 \Rightarrow x = 6$$

قبل از $x = 6$ مشتق مثبت (مساحت رو به افزایش) و بعد از آن منفی (مساحت رو به کاهش) است؛ پس $x = 6$ ماکزیمم است.

$$y = 12 - 6 = 6$$

پس طول و عرض هر دو ۶ سانتی‌متر است؛ یعنی مستطیل با بیشترین مساحت، مربعی به ضلع ۶ و مساحت ۳۶ سانتی‌متر مربع است.