سوال ۶ — سؤال ۶ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

$$\sin x - 1 + 2\sin^2 x = 0$$ $$\sin x = -1 \Rightarrow x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \ ,\ x = (2k+1)\pi + \frac{\pi}{2}$$ $$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \ ,\ x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{6}$$

گام ۱: همه چیز برحسب $\sin x$. از اتحاد $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ استفاده می‌کنیم:

$$\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$

گام ۲: حل معادلهٔ درجهٔ دوم. اگر $t = \sin x$ بگیریم:

$$2t^2 + t - 1 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \ \ \text{یا} \ \ t = -1$$

هر دو مقدار بین $-1$ و $1$ هستند، پس هر دو قابل قبول‌اند.

گام ۳: جواب‌های کلی. جواب کلی $\sin x = \sin \alpha$ این است ($k$ عدد صحیح):

$$x = 2k\pi + \alpha \quad \text{یا} \quad x = (2k+1)\pi - \alpha$$

برای $\sin x = \frac{1}{2}$، زاویهٔ $\alpha = \frac{\pi}{6}$ است:

$$x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{یا} \quad x = (2k+1)\pi - \frac{\pi}{6}$$

برای $\sin x = -1$، زاویهٔ $\alpha = -\frac{\pi}{2}$ است:

$$x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \quad \text{یا} \quad x = (2k+1)\pi + \frac{\pi}{2}$$