سوال ۸ — سؤال ۸ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

$$f'(4) = m_{AB} \Rightarrow 1.5 = \frac{y_B - 24}{1} \Rightarrow y_B = 25.5$$ $$\frac{y_C - 24}{-1} = 1.5 \Rightarrow y_C = 22.5$$ $$A(4, 24) \qquad B(5, 25.5) \qquad C(3, 22.5)$$

نقطهٔ A: نقطهٔ A روی نمودار $f$ و طول آن ۴ است؛ پس عرض آن $f(4) = 24$ است:

$$A(4, 24)$$

شیب خط: خط در نقطهٔ A بر نمودار $f$ مماس است، و شیب خط مماس در هر نقطه برابر مشتق تابع در همان نقطه است:

$$m = f'(4) = 1.5$$

نقطه‌های B و C روی همین خط هستند و طول آن‌ها از روی شکل ۵ و ۳ است.

نقطهٔ B: شیب خط را با دو نقطهٔ A و B می‌نویسیم:

$$m_{AB} = \frac{y_B - 24}{5 - 4} = 1.5 \Rightarrow y_B - 24 = 1.5 \Rightarrow y_B = 25.5$$

نقطهٔ C: همین کار را با دو نقطهٔ A و C انجام می‌دهیم:

$$m_{AC} = \frac{y_C - 24}{3 - 4} = 1.5 \Rightarrow y_C - 24 = -1.5 \Rightarrow y_C = 22.5$$

پس $A(4, 24)$، $B(5, 25.5)$ و $C(3, 22.5)$. (به بیان دیگر، معادلهٔ خط مماس $y = 1.5x + 18$ است و B و C نقطه‌های این خط به طول ۵ و ۳ هستند.)