دی ۱۳۹۷

امتحان نهایی ریاضی ۳

سوالات و پاسخ‌های تشریحی امتحان نهایی ریاضی ۳
همراه با بارم‌بندی و نکات کلیدی

۲۰ بارم کل۱۶ تعداد سوال۱۲۰ دقیقه زماندانلود PDF

سوال ۱ — سؤال ۱ امتحان نهایی ریاضی ۳ — دی ۱۳۹۷

۰.۵ بارم

درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید.

الف) تابع ثابت در یک بازه، هم صعودی و هم نزولی محسوب می‌شود.

ب) تابع f(x)=xf(x) = \sqrt{x} در نقطهٔ x=0x = 0 مشتق‌پذیر است.

دیدن پاسخپاسخ این سوال همراه با حل تشریحی و نکات آموزشی
در یک قدمی شماست!پاسخ تشریحیبستن پاسخ

الف) درست — ب) نادرست

راه‌حل قدم‌به‌قدم

الف) درست. تابع صعودی یعنی با بزرگ شدن xx مقدار تابع کم نشود، و تابع نزولی یعنی با بزرگ شدن xx مقدار تابع زیاد نشود:

صعودی:  x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)نزولی:  x1<x2⇒f(x1)≥f(x2)\text{صعودی:}\ \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2) \qquad \text{نزولی:}\ \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)

در تابع ثابت همیشه f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) است، پس هر دو شرط برقرار است و تابع ثابت هم صعودی و هم نزولی به حساب می‌آید (البته نه اکیداً صعودی و نه اکیداً نزولی).

ب) نادرست. دامنهٔ x\sqrt{x} بازهٔ [0,+∞)[0, +\infty) است، پس در x=0x = 0 فقط مشتق راست را می‌توان حساب کرد:

f+′(0)=lim⁡h→0+h−0h=lim⁡h→0+1h=+∞f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - \sqrt{0}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty

این حد عدد حقیقی نیست؛ یعنی مماس بر نمودار در مبدأ قائم است و تابع در x=0x = 0 مشتق‌پذیر نیست.

این پاسخ مفید بود؟